2024 लेखक: Elizabeth Oswald | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2024-01-13 00:07
नोट: यह सच है कि हर बाउंडेड सीक्वेंस में एक कन्वर्जेन्स सिक्वेंस होता है, और इसके अलावा, हर मोनोटोनिक सीक्वेंस तभी परिवर्तित होता है जब वह बाउंडेड हो। जोड़ा गया मोनोटोन अभिसरण प्रमेय पर बाउंडेड मोनोटोन अनुक्रमों के गारंटीकृत अभिसरण के बारे में अधिक जानकारी के लिए प्रविष्टि देखें।
क्या प्रत्येक आबद्ध अनुक्रम R में अभिसरण करता है?
प्रमेय में कहा गया है कि R में प्रत्येक बाउंडेड सीक्वेंस का अभिसरण क्रम है। एक समान सूत्रीकरण यह है कि R का एक उपसमुच्चय अनुक्रमिक रूप से कॉम्पैक्ट है अगर और केवल अगर यह बंद और घिरा हुआ है। प्रमेय को कभी-कभी अनुक्रमिक सघनता प्रमेय कहा जाता है।
क्या वास्तविक संख्याओं का प्रत्येक परिबद्ध अनुक्रम अभिसारी है?
उत्तर और स्पष्टीकरण: (ए) क्या हर बाध्य अनुक्रम अभिसरण है? नहीं।
क्या हर बंधा हुआ मोनोटोनिक अनुक्रम अभिसरण करता है?
सभी बाउंडेड सीक्वेंस नहीं, जैसे (−1)n, converge, लेकिन अगर हम जानते थे कि बाउंडेड सीक्वेंस मोनोटोन है, तो यह बदल जाएगा। यदि सभी n N के लिए एक ≥ an+1 है। एक अनुक्रम मोनोटोन है यदि यह या तो बढ़ रहा है या घट रहा है। और बंधा हुआ है, तब यह अभिसरण करता है।
क्या सभी बाउंडेड सीक्वेंस का अभिसरण बाद में होता है?
बोलजानो-वीयरस्ट्रास प्रमेय: Rn में प्रत्येक बंधे हुए अनुक्रम का एक अभिसरण अनुवर्ती होता है। of {xmk } वास्तविक संख्याओं का एक परिबद्ध अनुक्रम है, इसलिए इसका एक अभिसारी क्रम भी है, … इसके विपरीत, प्रत्येक परिबद्ध अनुक्रम एक में होता है।बंद और बाउंडेड सेट, इसलिए इसका एक अभिसरण परिणाम है।
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