एबेलियन समूह का प्रत्येक उपसमूह सामान्य है, इसलिए प्रत्येक उपसमूह एक भागफल समूह को जन्म देता है। एबेलियन समूहों के उपसमूह, भागफल और प्रत्यक्ष योग फिर से एबेलियन हैं। परिमित सरल एबेलियन समूह बिल्कुल अभाज्य क्रम के चक्रीय समूह हैं।
एबेलियन समूह का प्रत्येक उपसमूह सामान्य क्यों होता है?
(1) एबेलियन समूह का प्रत्येक उपसमूह सामान्य है चूंकि ah=ha सभी a G के लिए और सभी h H के लिए। (2) एक समूह का केंद्र Z(G) हमेशा सामान्य होता है क्योंकि ah=ha सभी a G और सभी h Z(G) के लिए।
क्या एबेलियन समूह का प्रत्येक उपसमूह चक्रीय है?
सभी चक्रीय समूह एबेलियन हैं, लेकिन एक एबेलियन समूह आवश्यक रूप से चक्रीय नहीं है। … एक एबेलियन समूह के सभी उपसमूह सामान्य होते हैं। एक एबेलियन समूह में, प्रत्येक तत्व अपने आप में एक संयुग्मन वर्ग में होता है, और वर्ण तालिका में समूह जनरेटर के रूप में ज्ञात एकल तत्व की शक्तियां शामिल होती हैं।
सामान्य उपसमूह एबेलियन समूह है?
सिद्ध करें कि एबेलियन समूह का कोई भी उपसमूह सामान्य उपसमूह है। उत्तर: याद करें: समूह G के एक उपसमूह H को सामान्य कहा जाता है यदि प्रत्येक g G के लिए gH=Hg हो। … gh=hg सभी h के लिए क्योंकि G अबेलियन है। इसलिए {घ | एच ∈ एच}={एचजी | एच ∈ एच}=एचजी सही कोसेट एचजी की परिभाषा के अनुसार।
क्या हर उपसमूह सामान्य है?
हर समूह अपने आप में एक सामान्य उपसमूह है। इसी प्रकार, तुच्छ समूह प्रत्येक समूह का एक उपसमूह होता है।) इनमें से दूसरा सामान्य है लेकिन पहला नहीं है।
