गणित में, टोपोलॉजिकल स्पेस के एक उपसमुच्चय को कहीं भी घना या दुर्लभ नहीं कहा जाता है यदि इसके बंद होने का आंतरिक भाग खाली है। बहुत ही ढीले अर्थ में यह एक ऐसा समुच्चय है जिसके तत्व कहीं भी कसकर गुच्छित नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए, वास्तविक के बीच पूर्णांक कहीं भी घने नहीं होते हैं, जबकि एक खुली गेंद नहीं होती है।
क्या 1 N कहीं घना नहीं है?
समुच्चय का एक उदाहरण जो बंद नहीं है लेकिन फिर भी कहीं घना नहीं है {1n|
∈एन}. इसका एक सीमा बिंदु है जो सेट में नहीं है (अर्थात् 0), लेकिन इसका बंद होना अभी भी कहीं भी सघन नहीं है क्योंकि कोई भी खुला अंतराल {1n|n∈N}∪{0} के भीतर फिट नहीं होता है।
आप कैसे साबित करते हैं कि एक सेट कहीं घना नहीं है?
एक उपसमुच्चय A ⊆ X को X में कहीं भी घना नहीं कहा जाता है यदि A के बंद होने का आंतरिक भाग खाली है, अर्थात (A)◦=। अन्यथा, ए कहीं भी घना नहीं है यदि यह खाली इंटीरियर के साथ बंद सेट में निहित है। पूरकों को पास करते हुए, हम समान रूप से कह सकते हैं कि A कहीं भी सघन नहीं है यदि इसके पूरक में एक घना खुला सेट है (क्यों?)।
हर जगह घने का क्या मतलब है?
एक टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स का एक सबसेट ए घना है जिसके लिए क्लोजर संपूर्ण स्पेस एक्स है (कुछ लेखक हर जगह सघन शब्दावली का उपयोग करते हैं)। एक सामान्य वैकल्पिक परिभाषा है: एक समुच्चय A जो X के प्रत्येक गैर-रिक्त खुले उपसमुच्चय को प्रतिच्छेद करता है।
क्या हर घना सेट खुला है?
एक टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स हाइपरकनेक्टेड है अगर और केवल अगर हर गैर-रिक्त खुला सेट एक्स में घना है। एक टोपोलॉजिकल स्पेस सबमैक्सिमल है अगर और केवल अगरहर सघन उपसमुच्चय खुला है।
