सामान्य तौर पर, किसी भी मैट्रिक्स के लिए, आइजेनवेक्टर हमेशा ऑर्थोगोनल नहीं होते हैं। लेकिन एक विशेष प्रकार के मैट्रिक्स, सममित मैट्रिक्स के लिए, eigenvalues हमेशा वास्तविक होते हैं और संबंधित eigenvectors हमेशा ओर्थोगोनल होते हैं।
क्या eigenvalues के eigenvectors हमेशा ओर्थोगोनल होते हैं?
जरूरी नहीं कि सभी ओर्थोगोनल हों। हालांकि विभिन्न eigenvalues के अनुरूप दो eigenvectors ओर्थोगोनल हैं। उदाहरण के लिए मान लीजिए कि X1 और X2 मैट्रिक्स A के दो आइजेनवेक्टर हैं, जो eigenvalues λ1 और λ2 के संगत हैं, जहां 1≠λ2.
क्या सभी सममित मैट्रिक्स में ऑर्थोगोनल आइजेनवेक्टर होते हैं?
यदि एक सममित मैट्रिक्स A के सभी eigenvalues अलग हैं, तो मैट्रिक्स X, जिसके कॉलम के रूप में संबंधित eigenvectors हैं, का गुण है कि X X=I, अर्थात, X एक ओर्थोगोनल मैट्रिक्स है।
क्या एक गैर-सममित मैट्रिक्स में ऑर्थोगोनल आइजेनवेक्टर हो सकते हैं?
सममित समस्या के विपरीत, गैर-सममित मैट्रिक्स के eigenvalues एक ओर्थोगोनल सिस्टम नहीं बनाते हैं। … अंत में, तीसरा अंतर यह है कि एक गैर-सममित मैट्रिक्स के eigenvalues जटिल हो सकते हैं (जैसा कि उनके संबंधित eigenvectors हैं)।
क्या eigenvectors रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं?
विभिन्न eigenvalues के अनुरूप eigenvectors रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। एक परिणाम के रूप में, यदि एक मैट्रिक्स के सभी eigenvalues अलग हैं, तो उनके संबंधित eigenvectors कॉलम वैक्टर के स्थान को फैलाते हैं, जिसमेंमैट्रिक्स के कॉलम संबंधित हैं।
